实用且可操作的，才是教与学真正需要的（3）——关于模型套路与基本图形
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关于模型套路与基本图形
—实用且可操作的，教学真正需要(3)
网络上关于“模型套路”的文章满天飞，模型多的数也数不过来，模型到底有多少，估计写这些文章的朋友自己也没数好数对，一个基本图形的稍加变换或变化，又会是一个模型，当然数不完．更过份的是：有的文章甚至将“数学建模”与”模型套路“混为一谈．笔者每每看到朋友分享转发的这些文章时，有点不吐不快：如果年轻教师或优秀的学生花尽大量时间研究这些模型和套路，那定会耽误和阻碍他们的潜能和思考，久而久之，也将会带来众多的负面影响． 下面的语言是有感而发， “模型套路”会“误”人（注：本文所叙述的“模型套路”，非“数学建模”）．一个动态图之中有多少模型？数的过来吗？明明是一个定理的基本图稍加平移、对称、旋转、相似（或位似）等为何成了一大堆甚至大几十个模型？何不好好将时间花在：理解一下定理中的基本图形（图象）的真正本质，何况所谓”模型“的解法本是一种，何来这么多套路？ 本人见过多少被模型套路影响的优生，当我用一个动图演示，让他认真观察至少10遍（哈哈，还没到30秒）后问他？有多少是你记忆中的模型套路？现在你能很快一口气把所谓的模型套路描述出来，并能附加上你没见过的模型套路吗？回答者让我大为惊叹，回答：看来我也会独创模型和套路了，白记了那么多模型套路，浪费时间。 常见的基本图形及相应的变换若能真正弄清，做到成竹在胸，必能达到：心无套路，处处有路！不但花不了多少时间，而且越学越有感觉，有了感觉那才是学好数学的最高境界！浪费时间花在死记套路上，只能越记越乱，本来只有几个重要的定理，应运而生的”基本图形“也很少，为何要为“一大堆模型套路”绞尽脑汁，记忆能不疲劳吗？久而久之，懒于动脑思考，对后续的学习必成大碍，何况多数人本身具有天然惰性，更何况成长中的学生？ 例如：
稍作变化(如对称)，得到如下的变形图形(仍然保持△ADE与△ABC相似．
从平移和旋转角度解读：
(1)
(2)继续将第二个图平移到特殊位置，
此时，从圆的相关知识联系解读，有AB是△BDE，或AE是△BDE的外接圆的切线
(2)将三角形特殊化(如∠ABC=90°)，则有：
又得到非常重要的基本图形——直角三角形斜边上的高．
(3)再将△ADE的点D在任意一条确定的直线FG上运动，保持∠DAE=∠BAC，∠ADE=∠B(或AD/AE=AB/AC)，即△ADE∽△ABC．则又可得到：
此时又可得到另一对相似(仅给第一个图，其他图形类似)，如下图中的两阴影部分三角形：
此时随着D点在线段EF(或直线EF)上运动，相应的点E也在一定直线上运动，可解决相关路径和最值相关的问题(如求BE的长的最小值)．
提示：可得到△AB
(3)如果继续脱离△ABC的直接影响，将△ADE在任意平移保持∠CAE不变(如cos∠DAE=2/3)，且AD:AE=定值(如3/4)，如下图示：
同样有上述相关结论．思路：找到原始状态下的基本图形(即为辅助线)或构造一个特殊情况下的基本图形，或者类似于上述图形中的△ABC均可(方法多种，本质一样)，如下图示：
(4)如果即脱离△ABC的直接影响，也让D点在任意确定的线、弧、函数图象上运动——类似于一个自由三角形ADE在保持本质不变(即任何位置均保持互相相似)情况下，将其在任意平移，同样还有上述结论：如下图示：
构造特殊情况下的基本图形——“哪里哪里去“，方法多种．
(5)在(4)的△ADE满足的条件下，若将此自由△ADE放在圆弧上运动，显然又可得到“旋转相似“相关的结论(如路径、最值问题)．如下图示：其中△MNP为任意已知三角形．
提示：构造特殊情况下的基本图形——“哪里哪里去“，当然与圆心有密切联系，因此需围绕圆心构造特殊基本图形，方法多种．
如
(6)再将“派生“出的基本图形放在圆的背景下
若让点D在圆上运动，在保持△ADE与△ACD相似的情况下，不难得到AE：AD=AD：AC．利用这个结论，又可任意构造类似“加权最值“的相关问题．如下图示
解题思路：构造基本图形．如下图示：
被人推荐阅读过模型套路的长文章，文章中的模型套路足够让人眼花瞭乱。花费笔者较多的时间吃力读完后，发现：不就是一个动态图中的各个侧面和变换后的图吗？可惜文章写到最后，并没发现：点破问题的本质和图形的本质。这与一个例题配上多个练习或题组，有何两样？难不成配上的10个练习就成了10个模型套路？学生能不累吗？对于后进生尚可，如果针对优生，那定会耽误和阻碍他们的思考和发展，“套”入“死路”中，微信私聊中，有很多年轻教师为了抄“近路”，深受其影响的而“套”入“死路”中还真不少．
定理中的基本图形，让多少前人后人舍得为之花尽心血！为何不多花点时在定理的本质图上，……
最经典最常见最多问的问题（还多数是年轻老师，超过千遍）是:我知道了是什么模型（就担心我会说什么…），但不知怎么用？把图画了，才会用，怎么办？……，后来我给了一个动图，…….
说了这些，朋友们该明白了，我要说的是：基本图形（随定理应运而生的基本图形）花多少时间研究都不为过，当你明白了其中的”本质和内涵”，也许你会有更多的所谓”模型套路“，也请朋友们今后不要再问我“模型套路”的相关问题了。谢谢！
好比开车，如果只会用教练教的”模型“开车，估计怎么也开不好车，因为开车实践中遇到的”模型“非是教练讲完讲清的“套路”，但如果没有掌握基本功（”基本图形“）自然就永远开不了车．
熟能生巧，其实说的就是”将”基本图形“弄“熟了，自然就会生巧——心无套路，处处有路！
图是关键，一切尽在图中，有图有真相．图中又有多少所谓的“模型套路”，再将基本图形与图中的相关基本元素（点、线）组合，又能派生出多少所谓的“模型套路”，“基本图形”以各种“千姿百态”的形式展现在你面前的，其实都是图的各种变换，深入钻研定理之中的“基本图形”，结合变换足可以应付“热吵”过的或者尚未出现过的“模型套路”，何乐而不为！
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